冪級数II [背景] 関数が初めから冪級数f(x) =X∞ n=0 an(x−x0)n で与え られているとき、この級数が収束する範囲を知りたい。 [例題] 微分方程式(1−x2)y′′ −2xy′ +2y = 0 (Legendre の微分方程式とよばれる応用上重要な微分方程式) の解がy = X∞ n=0 anx n の形をしていると仮定してy = y(x) を 可換環Rの係数列の集合は、可換環を成すことがわかっています。

母関数から一般項を求めるためには，$\sqrt{1-4x}$ を多項式（べき級数）で表してやる必要があります。そこで，関数をべき級数に展開する方法：マクローリン展開を用います。 合成積.

係数列どうしにも乗法を定義することができます。 これを、合成積とよびましょう。 合成積と、通常の積は、結果が一致します。 可換環R上の形式的べき級数環. (収束のスピードが遅いので、最低、複数項をまとめて計算すべきである。 また計算実験であるから誤差の評価も考察しなくてはいけない。) 1 級数の収束 級数の収束は、 ∑1 k=1 ak = lim n!1 ∑n k=1 ak 2

1変数関数のマクローリン展開と合成関数の考え方を利用して,2変数関 数をべき級数展開する. クォータ科目「数学」第4回（担当：佐藤弘康）1/6 2変数関数のべき級数展開（考え方） 2変数関数f(x,y)に対し,

1 (2n+2)! ですから、 Ø Ø Ø Ø a n a n+1 Ø Ø Ø Ø = 1 (2 )!

この級数は P a nyn とす るとa n= (−1)n 1 (2n)!

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