の交代双線形形式(交代双1次形式，歪対称双線形写像，．．．alternative bilinear form, skew-symmetric bilinear form) B: V ×V → R が非退化であるという意味を説明します．双線形(双1次)というのは，B(u,v) が，u についても線形， 双線形ペアリング写像と公開鍵暗号 193 ができるidベース暗号が構成可能となる[19], [3], [5]．以下に，idを持つユーザに対して平文m を暗号化して送信するidベース暗号の最も基本的な構成方法を述べる． [システムパラメータ生成] 大きな素数に対して，非退化で対称な双線形ペアリング写

7 まえがき 2017 年度及び2018 年度に埼玉大学理学部数学科の学生向けに線形代数学を講義する際 に用意したノートが本稿の基になっている．線形代数学を初学者に説明する目的で用意し たものだが，初学者向けに基礎事項をコンパクトに纏めた教科書を企図したものでない． 非退化ではるが完全ではない例としては、 (x,y) ↦ 2xy による Z × Z → Z は非退化ではあるが、写像 Z → Z* の上に 2による積を引き起こす。 そこで、こういった場合に対しても双線型形式という言葉がしばしば用いられる。 ペアリングとは，2入力1出力の関数であり，双線形性を持つ関数 (写像)である． ペアリングは，最初楕円曲線暗号に対する攻撃手法として利用された．すなわち，楕円曲線上の離散対数問題の解法に用いられた．その後，ペアリングを用いた暗号方式が提案されるようになってきた．ペアリングの双線形性を利用すると，公開鍵として ID を利用する IDベース暗号や IDベース署名などが実現できる． 現在，暗号で利用されているペアリングは楕円曲線上で定義される関数であり，楕円曲線上の 2点をを入力と … 双線形写像は非退化性と呼ばれる次の性質を満たしているものが使われます。 g t の単位元を1とします。 g 1 が加法群の場合： g 1 の生成元をpとすると、 e(p,p) = 1とはならない。 g 1 が乗法群の … 対称双線型形式 b が特異 (singular) であるとは、その根基が非自明なことをいう。また対称双線型形式 b が非退化あるいは非特異 (non-degenerate, non-singular) であるとは、特異でないことをいう。これは随伴写像
非退化性. V, W を実ベクトル空間とする1．写像f: V W !

任意のv0 2 V を固定したとき，対応w 7!f(v0;w) がW からR への線形写像であり， 2. R について， 1.

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