数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {xn}∞ n=1 で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。 測度に関して可測な複素数値2乗可積分な関数全体のつくる関数空 間であるとすると, L2(a, b) は可分なヒルベルト空間である. 可分でないヒルベルト空間にも正規直交基底の存在がZornの補題から言えます。可分なヒルベルト空間の場合は、「可算濃度」の正規直交基底がとれます。-----H≠{0}をヒルベルト空間とする。Hには正規直交基底が存在する。 ∵ Β：Hの正規直交系からなる集合 別なヒルベルト空間ではなくして，可分な一般抽象ヒルベルト空間 において証明あるいは解決 される： (¡)(2定理1, 2)K-L正規直交系はS.Suzukiの平均類似度(測度的ユニタリ不変量の特別なも 数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 † 複素ベクトル空間 † 内積をもつ † 内積から定まるノルムによって完備距離空間になる † 可算個の元x1;x2;::: が存在して(x j xi) = 0 for all i = 1;2;::: ならばx = 0 命題(Gramm-Schmidt) x1;x2;:::;xn を一次独立な元とする. ここ で, f, g ∈ L2(a, b)の内積は, 関係式 (f, g) = ∫ b a f(x)g(x)dx によって定義する.

可分Hilbert 空間 H が可分Hilbert 空間であるとは, 以下の条件を満たすことである. ヒルベルト空間が可分であるための必要十分条件は、それが可算正規直交基底を持つことである。 従って任意の可分な無限次元ヒルベルト空間が ℓ 2 に等長であることがわかる。 ノルム空間の位相 以下，ノルム空間Xには常にdを距離とする距離空間としての位相を考える． すなわち，点列{xj}⊂Xがx ∈Xに収束するとは lim j→∞ x −xj =0 が成り立つことであり，このとき x = lim j→∞ xj あるいは xj →x (j →∞) などと書く． 8 線形演算の連続性 命題1.2.


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