領域 において が連続で， で偏微分可能であるならば， が成り立つ． 証明. 在這些條件下，不僅能夠用逐次積分計算雙重積分，而且交換逐次積分的順序時，積分結果不變。 Tonelli定理由數學家 Leonida Tonelli在1909年提出，與富比尼定理相似，但是是應用於非負函數而不是可積函數。 定理 . 問題有歧義，到底問的是對於一個一元函數，求導運算和不定積分運算可以交換順序不改變結果. 還是問，一個多元函數，什麼情況下，多重積分可以交換積分次序不改變結果？一個多元函數，求偏導數按不同次序不改變結果？ が成り立つ． 証明. 4章 無限級数 一様収束」のところに，「積分記号下で の微分積分」という項で載っています． 微分と積分の順序交換，あるいは積分記号下の微分に ついて，まとめておくと便利だと思いますので，ここに 整理しました． 2 積分区間が閉区間の場合 （読んでいただいた方からの指摘を受けて訂正しました．またtwitterでも感想や指摘を頂きました．ありがとうございます．） はじめに こんにちは，大野（@delta2323_）です．今日はルベーグの収束定理についてお話をしたいと思います． 1 関数列の収束と微分積分 1.1 例 次の例を考えよう。 fn(x) = 4n2x,0 ≤ x ≤ 1 2n 4n2(1 n −x), 1 2n ≤ x ≤ 1 n 0, 1 n ≤ x この関数のグラフで囲まれた三角形の面積は任意の自然数nに対して常 に1だから、 ∫ F (y) = ∫ a b f (x, y) d x とおく ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∂ ∂ y F (y) = lim ⁡ k → 0 F (y + k) − F (y) k とおく (積分の線形性より) とおく．中間値の定理より . 積分∫は元々Σの和の極限の式から導出されていますので、Σの性質を持っています。 したがって、Σや∫の変数をそれらの記号を超えてΣや分∫記号の左側に移動しない限り順序を交換できると言うことですね。 「有界」の仮定は除けない 2.

1. とおくと . この結果は，Riemann-Stieltjes積分に一般化できます（参考：Rudin）． 2. fn=n∑k=1gkfn=∑k=1ngkを考えれば，級数にも適用できます．以下で， 1. 今回は2重積分の基礎部分、および積分範囲の交換方法についてまとめています。2重積分とはどのようなものなのかを図などでわかりやすく説明してから実際に2重積分を計算する方法や積分範囲を交換する方法を例題や練習問題などでわかりやすくまとめています。 POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介． 応用例としてGauss積分について解説する． 微積分の順序交換に関する定理と，応用例を紹介します． 極限記号$\lim$と，積分$\displaystyle\int$の順序交換（優収束定理）については，次の記事を参照して下さい： 定理 【例】Gauss積分 参考文献 定… 微分と積分の順序交換. となる．よって . 積分の順序を変更して，はじめに y を固定して，それぞれの y に対して， x で積分するときは，図のように積分区間の左端が y ，右端が 1 になる． (1) 赤の横線で示した線に沿って， y≦x≦1 の区間で変数 x で積分して得られる式は . 1 計算多重積分的訣竅 本文主要以概念性的方式來談積分，不嚴格證明‧如有不嚴謹處，請多包含‧ 我們先從雙重積分開始談‧假設R是平面上的有界區域，我們希望計算連續函數f(x;y)在R上 的積分： ∫∫ 微分と積分の順序交換. 領域 D において f (x, y) が連続で， y で偏微分可能であるならば， ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∫ a b ∂ ∂ y f (x, y) d x . 「一様収束」の仮定は除けないことを見てみましょう．


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