次元 級多様体における2つの 次元 級座標近傍系 ベクトル場による関数の微分とは、ベクトル場が生成するフローの軌道に沿った変化率ということか。 \(\fn{Xf}{M}\RR\) は \(C^\infty\) 級である。 \(\fn{X}{C^\infty(M)}C^\infty(M)\) は線形写像かつライプニッツ則を満たす (cf.
そして，(C)：ヤコビの行列に逆行列が存在するので，上式に逆行列をかければ，逆写像：(Δx，Δy)→(Δu，Δv)を示す行列の関係式がえられ，Δx，Δy が 0 に近づく極限では(u 0,v 0)と(x 0,y 0)の近傍は1対1で対応してしまうだろうということです。

M, g: M ! 線形写像. 問題 a >. p ∈ M について，DXs(p) はX(p) の値とs(x) のp のまわりでの振る舞いにしかよらない． 証明. +z0 をCからC C1 級写像と考える.

C∞ 級連続性，微分可能性については関数の連続性と微分可能性の意味と関係をどうぞ。 C∞ 級については後述。 連続 2. 一般にCr 級写像とCr 級写像の合成はCr 級となるが, それ以上の微分可能性については何も 保証されない.

関数pi: S2! NもC1 級写像となることを示せ． 問16. が成り立つ。 Theorem、逆写像の定理 R2 の開集合UからR2 へのC1 級写像˚に対して、ある(x 0;y0)にお いてJ˚(x0;y0) 6= 0 ならば、(u0;v0) = J˚(x0;y0)のある近傍Vにおい て定義されたC 1級の逆写像˚−: V −→ Uが存在する。そして J˚ 1 = 1 J˚ が成り立つ。 さらに,1
関数がそれなりに「扱いやすい」性質を持っているときにのみ成り立つ定理はたくさんあります。そこで，いろいろなレベルの扱いやすさ（滑らかさ）について考えてみます。上に行くほどゆるい条件，下に行くほど強い条件（より扱いやすい関数）です。 1.

集合論問題集・解答例と解説 3 写像 1.

Rをpi(x1;x2;x3) = xi で定めるとき，各局所座標によ … このとき, M を原点中心に角度µ 回転させて(a;b) 方 向に平行移動した集合M0 も, なめらかな平面曲線であることを示せ. C 1級多様体L;M;NとC 級写像f: L! また, MはCr 級多様体だから, (U;φ)から(V; )への座標変換 φ 1 はCr 級である.
R2 で, 像c(R) はx-軸となるが, なめらかな曲線の助変数表示では ない例を挙げよ. C1 級写像 の合成がC1 級 ... 証明 f: U ! 問14. C1 級（連続的微分可能） 4. M をなめらかな曲線とする. のちにより抽象的な「ベクトル」の概念を導入しますが，ひとまずは親しみやすい，数を並べたベクトルに関して考えることにします．線形写像の定義は以下です． ST CO LIBR AR Y 1 陰関数定理と逆写像定理 1 陰関数定理 f(x;y) の第r 階導関数がすべて存在して連続のとき，f(x;y) はCr 級であるという。 次の定理を証明しよう。 問題 5.1.6)。 \(Xf = 0 \implies f(F_t(x)) = f(x).\) V の逆写像 をg: V ! C1 級多様体Mの開部分集合Uˆ Mは自然にC1 級多様体となることを示せ． さらに，包含写像U!MはC1 級写像となることを示せ． 問15. 幾何学特論III –4 命題1.4. このとき, fはCP1 からCP1 へのC1 級写像に拡張されることを証明 せよ. C1-写像c: R!

問題2.20.


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