任意の m×n 行列 A に対して，A=UΣV となる m×m の直交行列 U（→直交行列とは） n×n の直交行列 V m×n の「非対角成分は 0，対角成分は非負で大きさの順に並んだ行列（図のような行列）」 Σが存在します。 A をこのような行列の積で表すことを特異値分解と言います。また，Σ の対角成分で 0 でないもの（0 を含めることもある）を特異値と言います。 pinv は特異値分解を使用して A の疑似逆行列を形成します。S の対角上にある特異値のうち tol より小さいものはゼロとして扱われ、A は次のように表されます。 2.13 特異行列分解(svd） 疑似逆行列を計算する計算上簡単で正確な方法は,特異値分解を使うことである。もし が の特異値分解なら， である。 のような対角行列に対して， と表せる。ここに Σ + は、Σ の零でない成分の逆数を成分とする行列の転置である。 この擬似逆行列を用いて、線形 最小二乗法を行うことができる。 値域、零空間、行列の階数. まさに、数学の魔法が詰まった分解なのである。 擬逆行列の計算というものは、特異値分解の魔法を応用した一例にすぎないのだが、 分解された要素を次のように組み替えれば、擬逆行列となる 。 では、「 r 」で行うとどのようになるのか、やってみる。 となっている。検算せよ。これを行列 a の特異値分解という。 (7)疑似逆行列の作成 この行列を a の疑似逆行列という。次のような性質が a に対して生じるので、疑似逆行列と呼ぶ。 (8)疑似逆行列を使って無理矢理解くとどうなるか？ 任意の行列 A に対して一意の擬似逆行列 B が存在します。この疑似逆行列の次元は A' と同じです。A が正方であり、かつ特異でない場合、pinv(A) は時間がかかりますが inv(A) と同じ結果を出力します。 システム工学i 第9回 一般化逆行列と 特異値分解 電347, 電397 システム工学i (2016) 琉球大学工学部電気電子工学科担当:半塲 1 特異値分解を行うとこれらの問題点が明確になるし、対応を工夫することが出来る ただし、計算コストはかかる。 (at a)−1 (疑似)逆行列の計算には特異値分解を使おう！ 特異値分解は行列aを特異値行列と2つのユニタリー行列に分解する手法ですが疑似逆行列とも深い関係があります． 先ほどと同じように\((a_i,b_i), i=1,\dots,N\)というデータがあるとき， 連立方程式を解くために、行列の逆行列が用いられる。簡単な例としてで表されるxとyの関係を行列を使って表せば次のようになる。ここで , , とすると、最初の式はという線形代数でおなじみの式で表されるから、 両辺にの逆行列をかけてとして解が求まる。 まさに、数学の魔法が詰まった分解なのである。 擬逆行列の計算というものは、特異値分解の魔法を応用した一例にすぎないのだが、 分解された要素を次のように組み替えれば、擬逆行列となる 。 では、「 r 」で行うとどのようになるのか、やってみる。 Aをm×nの実行列とするもしm
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