よって，n 次の置換は全部で n! (1)置換をいくつかの巡回置換の積で表す (2)巡回置換を互換の積で表す という手順で行なっているので、証明もこの二つのステップに分けて考えればいいのだとは思いますが、例えばn=3の時ですらどうやって証明したらいいのかが全くわかりません。 るのだ。証明はやや面倒なので省略するが、3次までなら、素朴な証明でも. [証明の方針]置換を同じ文字を含まない巡回置換の積に分解して、それを別の痴漢で変換するときのことを考える。 置換σが、同じ文字を含まない巡回置換abc…に分解されたとする。 これをαで変換すると、αabc…α-1 となる。 置換の符号 置換˙ がm個の互換の積として定義できるとき, ˙ の符号を sgn(˙) = ( 1)mと定める. 置換によって「(1,2,⋯,n) を並び替えた後の状態」は 1 から n までの順列となっています。よって，順列と置換は対応しています。 2. この表し方は一意ではありませんが、積に登場する互換の個数が偶数か奇数かどうかは、置換によって一意に定まります。 偶数個の互換の積で表せる置換を偶置換（even permutation）、奇数個のときは奇置換（odd permutation）と呼びます。 「任意の置換は互換の積に分解される」 ということの証明がわかりません。 巡回置換が互換の積で表せるということはわかったので、あとは任意の置換が巡回置換の積表せればいいのですが、そこがわかりません。 わかりやすい証明をお願いします。 を満たすことがnに関する帰納法によって証明される． 命題5.3. 難しくない。 ・ 1,2,⋯,n を並び替える操作を n 次の置換と言います。ここでは置換を σ と表します（厳密には集合 X から X への全単射を置換と言う）。・置換はもとの元を上に並べて行き先を下に並べたような形で表現されます。 1. 置換とは、ある数列のアナグラムのことを言います。例えば、「1,2,3,4,5」という数列を、「4,3,2,5,1」と並び替え、両者の数字をそれぞれ左から順に「1と4」「2と3」「3と2」「4と5」「5と1」と対応づけると、この対応を5文字の置換と呼ぶわけです。「1と4」みたいな対応関係を「σ(1)=4」と表し、さらには、この対応をσ=(1234543251)とまとめます。上の段が先ほどの「1,2,3,4,5」で、下の段がその並び替えの「4,3,2,5,1」であることが分かりますよね？ある列の上下の数字をペアとして捉えることがこの … 個あります。 \((2 \ 5 \ 4 \ 1)\)を互換の積で表したとき、互換の個数は3個・5個と奇数ばかりでした。これは、今回挙げた巡回置換の例では、互換を奇数個使わないとそもそも積として表現できなかったからです。 さて、置換は複数の巡回置換の積で表せました。 互換の選び方は一定ではないが, 符号はそれによらない. まずはじめにこれから攻略する『n次行列式』の定義となる式を書いておきます。本などによって多少書き方は異なる場合がありますが、意味はどれも同じです。総和・『sgn』・総乗記号、などなど暗号のように見えます。 る。実は一般に、置換を互換の積として表す時、互換の個数が偶数になるか. まず、巡回置換の積に分解して (125)(34) です。次に互換の積に分解しましょう。例えば (15)(12)(34) とできます（教科書によくある規則的な分解方法の一つです）。上の分解で隣接互換でないのは (15) ですから、(15) を隣接互換の積に分解しましょう。例えば と巡回置換の積に分解できるので、基本事項の3.と5.より であることがわかる*2。 一般的に転置が引き起こす置換の符号は次のように決定することができる。 奇数になるかは一通りに決定している。上の置換の場合なら、必ず偶数にな. 1つの置換を互換の積で表すとき，偶数個の互換の積であるか奇数個の 互換の積であるかは，与えられた置換によって定まる． [証明] ˙ を与えられた置換とする． ˙ = ˙1˙2 ˙s = ˝1˝2 ˝t よろしくお願いします。[1234567]σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)となります。これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その 置換が全単射写像であることを考えれば，証明はどれも明らかです． 定義9.3 $\mathfrak{S}_n$の元のうち，2つのみを入れ替え他はそのままにするような置換のことを 互換 という．つまり$(i\; j)$という形をした置換のことである．

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