チェビシェフ距離（英: Chebyshev distance ）またはL ∞-距離 は、幾何学における距離概念のひとつ。 各座標の差（の絶対値）の最大値を2点間の距離とする 。 名称はパフヌティ・チェビシェフに由来する。 チェス盤距離（英: chessboard distance ）とも呼ばれる。. ユークリッド空間上の点列が収束することの意味を、イプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。点列が収束することは、その点列の項の成分を項とする数列がいずれも収束することとして特徴づけることもできます。 定義8.4 距離空間(X;d) の部分集合A の補集合Ac が開集合であるとき, A を閉集合であるという. 例1.6 (X;d) を距離空間とするとき，"近傍の全体 B(d) = fN"(p) j p2 X;">0g は位相O(d) の開基である。 証明 集合族B(d) に関する，定理1 の条件は，部分集合Uに関する，距離 空間における開集合の条件である。 上の議論で，すべての"近傍を取る必要はない。 2 バナッハ空間とヒルベルト空間 (2011 年1 月26 日更新) K をR またはC, X はK 上の線形空間とする。c ∈ C の複素共役をc∗ と書く。 2.1 ノルムと内積 有限次元空間Kd ではベクトルx ∈ Kd の\長さ"を測る指標のひとつがユークリッド ノルム：|x| = d 実際, X を2点x, y を含む密着空間とす ると, xを含むX の開集合もy を含むX の開集合もX のみであるから, xとy を開集合により 分離することはできない. X が有限集合のとき, X は離散空間である. 定義. Aが部分距離空間として完備なとき, Aは完備であるという.

x7.ff 空間 2 例 2点以上からなる密着空間はff ではない. 例 X を空でない集合とし, X の余有限位相を考える. 完備性 5 証明. 位相空間論を勉強し始めたけど,位相の定義の「気持ち」がわからないという方に向けて具体的に分かりやすく解説してみようと思います. 第3章 位相空間の基礎のキソ 多様体はある種の「位相空間」として定義される．1 その定義に先立って，この章では「位 相空間」とは何か，という（大学2，3年生レベルの）難題にヒントを与えたい．ただ …

このとき, 任意の" > 0 (V;dˆ) が完備距離空間であるとき, ノルム空間(V;ˆ) をBanach 空間と呼ぶ. 数学解析第1 第2回講義ノート 命題1.7（Cauchy{Schwarzの不等式）jx yj ∥x∥∥y∥ (x;y 2 Rn) 証明x = 0のときは，両辺とも0になるので明らかに成り立つ．そこで，x ̸= 0と仮定す る．このとき，∥x∥ > 0 であることに注意しよう．1 変数関数ϕ(t) をϕ(t) := ∥tx y∥2 に より定める．このとき， 距離空間と距離による位相 距離関数d が与えられた集合 X を距離空間といい、( X, d ) と書く。 さて、この距離空間を位相空間とする方法であるが、まず ( X, d ) の任意の点 x のε近傍を次のように定義する。 x のε近傍 S ε (x) とは X の部分集合 （reference） 日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』項目92距離空間(pp.253-256)、項目409ユークリッド幾何学(pp.1225-1229)、項目410ユークリッド空間 (pp.1229-1230).

1.2. 7 まえがき 2017 年度及び2018 年度に埼玉大学理学部数学科の学生向けに線形代数学を講義する際 に用意したノートが本稿の基になっている．線形代数学を初学者に説明する目的で用意し たものだが，初学者向けに基礎事項をコンパクトに纏めた教科書を企図したものでない． m=max ｛ m₁,m₂ ｝にとると、 となり、ハウスドルフ空間であることに反する。 よって、極限点が存在すれば、唯一つである。 （証明） 距離空間 はハウスドルフ空間なので、定理1から次のことが成り立つ …

定義8.3 距離空間(X;d) の部分集合A が次の条件を満たすとき開集合(open set) であるという:すべてのA の点x に対してあるr > 0 が, U(x;r) ⊂ A を満たすように存在する. また, 空集合は開集合であると決める. 定理1 C[0;1] は一様ノルムから定まる距離についてBanach 空間である． 証明. 定義8.4 距離空間(X;d) の部分集合A の補集合Ac が開集合であるとき, A を閉集合であるという.

例1.2 以下ではpを1 以上の実数またはp= 1 とする. 5.4 超平面・半空間と凸集合の分離 この節では，凸集合の分離定理を扱う．凸集合の分離定 理は，2次元や3次元などの視覚的につかみやすい空間で は，証明の必要を感じないほど明らかな定理に思える諸 君も多いかもしれない．しかし，厳密な証明は，それほ > max{|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|,…,| x_n- y_n|} > も距離になります。（これは通称マンハッタン距離と呼ばます。） についてですが、マンハッタン距離が条件(3)を満たす理由がわかりません。 証明をお願いします。 (V;ˆ) をノルム空間とするとき, V の距離関数d: V V ! 部，閉包）：ユークリッド空間の場合の距離関数をX の距離関数d に置き換えて定 義する． 4.

||∞)が距離空間になることは，既知だから，問題なのは完備性だけ． 完備性とは，任意のコーシー列が収束することをいう．ここでの収束は一様収束の意味

証明 (X;d)を距離空間, fang1 n=1 をa 2 X に収束するX の点列とする.

また関数解析を勉強する際にも役立つような内容だと思っています. Cauchy列に関して, 次がなりたつ. また, 空集合は開集合であると決める. 神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.67-76;120-123; 131-148.

定義8.3 距離空間(X;d) の部分集合A が次の条件を満たすとき開集合(open set) であるという:すべてのA の点x に対してあるr > 0 が, U(x;r) ⊂ A を満たすように存在する.

多項式全体はC[0;1] で稠密になります．すなわち，区間[0;1] における有理 数の役割を果たします． 定理2 (Weierstrass) C[0;1]の中で多項式全体P[0;1]は一様ノルムについ て稠密である． R がdˆ(x;y) = ˆ(x y) により定義され, (V;dˆ) は距離空間になる. 定理2.4：距離空間(X;d) の開集合全体のなす集合をU とすれば，以下が成り立つ． (1);;X 2 U (2) U1; U2 2 U ) U1 \U2 2 U (3) U の元からなる任意の集合族fU g ∈ に対し[ U 2 U 5. 定理 距離空間の収束する点列はCauchy列である.

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