f(x)=xsin1/xが（0.1]で一様連続かどうかの証明なのですが、以下のものであっているのかわかりません。 任意にε＞0をとる。

定理2 区間I ⊂ R上で定義された連続関数の列{f n(x)}が関数f(x)にI 上一様 収束しているならば、f(x)もI 上連続である。 証明: 任意にx0 ∈ I をとり、f(x)がx0 において連続であることを示します。一様連続性 関数の連続性の定義と例、および幾つかの性質(和の連続性、積の連続性、商の連続性、合成関数の連続性、最大値・最小値の定理)を記したページです。丁寧な証明も付けられているので、よろしければご覧 … ε 2 =ε.

ゆえにf(x)はIで一様連続である． (2)f(x)=sin 1 x をI =(0,∞)で考える1．各n=1,2,... に対して，x n:= 1 2nπ ， 1以下ではグラフy=sin 1 x を思い浮かべるように．一様連続性を否定するε>0を式変形で探そ うとしないこと． 1 y n:= 1 2nπ+ π 2 とおくと， |f(x n)−f(y n)|=!! θの範囲が(0 < θ < π/2)で入力可能です。 三角関数、逆三角関数の公式 ＝ タンジェント(正接) ： tanθ ＝ 0.5のとき. 例11.2 例11.1の場合 x ∈ [0;2ˇ]を固定すると 数列 {sinx n} は収束列で sinx n < 1 n より lim n→∞ sinx n = 0 従って極限関数lim n→∞ fn(x) = F(x) 例11.3 (教科書p121,例1(iv)) fn(x) = nx (0 ≤ x ≤ 1 n) 2−nx (1 n ≤ x ≤ 2) 0 (その他) I = [0;2] 任意のx ∈ I に対してlim n→∞ fn(x) = 0 [ 証明] 7.2 一様収束と正則性 正則性は一様収束により保存される． 定理7.5 領域D 上の正則関数列{f n(z)} がf(z) にD 上広義一様収束するとする．このと き，f(z) もD で正則である． 証明次のことを証明すればよい：任意のz 0 ∈ D に対しf(z) はz = z 0 で微分可能 • z ||∞)が距離空間になることは，既知だから，問題なのは完備性だけ． 完備性とは，任意のコーシー列が収束することをいう．ここでの収束は一様収束の意味

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